Desviación estándar

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos.

La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?"

Varianza

la varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ²) se define así:

Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

En otras palabras, sigue estos pasos:

1. Calcula la media (el promedio de los números)
2. Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado).
3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado. (¿Por qué al cuadrado?)

Ejemplo

Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):

Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.

Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.

Respuesta:

Media =	600 + 470 + 170 + 430 + 300	=	1970	= 394
	5		5

así que la altura media es 394 mm. Vamos a dibujar esto en el gráfico:

Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:

Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:

Varianza: σ2 =	2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2	=	108,520	= 21,704
	5		5

Así que la varianza es 21,704.

Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:

Desviación estándar: σ = √21,704 = 147

y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media:

Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal, o extra grande o extra pequeño.

Los Rottweilers son perros grandes. Y los Dachsunds son un poco menudos... ¡pero que no se enteren

variable aleatoria diiscreta

En la teoría de probabilidades no siempre es indispensable conocer los elementos del espacio muestral, sino tener todos los puntos muestrales representados por cantidades que indiquen cierta propiedad del espacio muestral, de forma que a cada punto muestral le corresponda un valor que lo está representando.

Variable.

A un cirujano le puede interesar el número de operaciones exitosas que realiza; un bioquímico puede estar interesado en la densidad de glóbulos rojos de una persona; un empresario por el monto de las ventas de su empresa durante el año; un educador por el número de alumnos aprobados cuando usa determinado método de enseñanza; un arquitecto por el número de casas que construirá el próximo semestre; un ingeniero agrónomo por la producción de maíz por hectárea con una variedad híbrida que está probando; un futbolista por el número de goles que anotará durante la temporada; un meteorólogo por la precipitación pluvial anual en cierta localidad y así se pueden mencionar múltiples aspectos de interés.

 Como cualquiera de los sucesos anteriores puede tomar valores diferentes, esto es, pueden variar, se les llama variables.

Variable Aleatoria

Si realizamos un experimento aleatorio, es lógico pensar que los resultados que se obtengan también son aleatorios. Así:

Si los valores numéricos que toma una variable provienen de factores fortuitos y si un determinado valor no se puede predecir con precisión, esa variable recibe el nombre de variable aleatoria (v. a.).

Para representar las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas y para los valores de los puntos del espacio muestral se usan minúsculas.

Variable Aleatoria Discreta

 Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas. En el capítulo siguiente trataremos extensamente las variables aleatorias continuas (v. a. c.), pero de momento, con el objeto de visualizar la diferencia entre ellas, podemos decir que las discretas surgen generalmente al contar, mientras que las continuas aparecen cuando se mide.

na variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los valores que puede tomar.

De acuerdo a lo anterior podemos decir que:

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

 Sea X una variable aleatoria asociada con un experimento aleatorio. Si el resultado de un experimento es a, entonces decimos que en esta prueba la variable aleatoria X ha tomado el valor a, o que hemos observado el valor X = a.

 Una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades:

1.    La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio muestral S del experimento y sus valores son números reales.

2.          Sea a cualquier número real y sea I cualquier intervalo de S. Entonces el conjunto de todos los valores para los que X = atiene una probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X que están en I.

Ejemplo 4. 1. Sea el experimento de lanzar 3 veces una moneda y representemos por X el evento del número de caras que aparecen. Encontrar los valores que puede tomar la variable aleatoria.

Solución.

El espacio muestral de lanzar 3 veces una moneda es:

S = { ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}

Si solamente nos interesa el número de caras que aparecen, entonces al punto muestral (+++) le corresponde el valor cero porque no hay ninguna cara, a cada punto muestral donde hay una cara (c++, +c+, ++c) le corresponde el valor 1 y así los demás puntos muestrales. Por lo tanto:

X(+++) = 0

(c++) = X(+x+) = X(++c) = 1

X(cc+) =  X(c+c) = X(+cc) = 2

X(ccc) = 3